Integral de descomposición

Integración por descomposición en fracciones simples.

Consideremos integrales de la forma 

$ \int$$ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx =$\displaystyle \int$ C(xdx +$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$ dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).

Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:

Q(x) = (x – a1).(x – a2)…(x – an)

Caso 1.- Si las raíces del polinomio, ai, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

$ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = $ {\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + $ {\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + $ {\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$

Determinamos el valor de los Ai efectuando la suma de fracciones:

$ {\frac{P(x)}{Q(x)}}$$ {\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%%<br /><br /><br /><br />
)..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$

e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

$\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$dx = A1ln(x – a1) + A2ln(x – a2) + .. + Anln(x – an)$\displaystyle \int$

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