Métodos de Integrales

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.

Ejemplo
Calcular la integral indefinida \int \sec^2(x) \, dx.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec 2(x). Por tanto: \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x)+ C.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida \int\frac{1}{x}\, dx.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que  \frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}. De este modo, la solución del problema es \int \frac{1}{x}\, dx =  \ln(x)+ C.

No obstante, puesto que la función  \frac{1}{x}  esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadenaen la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

 \int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx

En la integral se reemplaza \ 2x^2+3 con (u):

 \int^3_{-2} x \cos (u) dx   (1)

Ahora se necesita sustituir también \ dx para que la integral quede sólo en función de \ u:

Se tiene que \ 2x^2+3=u por tanto derivando se obtiene \ 4x  dx=du

Se despeja \ dx=\frac{du}{4x} y se agrega donde corresponde en (1):

 \int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}

Simplificando:

 \int^3_{-2}  \cos (u) \frac{du}{4}

 

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva delcoseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo.

En este caso, como se hizo \ u=2x^2+3  :

u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\!  (límite inferior)

u_2=2(3)^2 + 3 = 21  \,\! (límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

 \frac{1}{4} \int^{21}_{11}  \cos (u) du =  \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))

Ejemplo #2

Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

 \int \frac {1}{5+ 3\cos (x)} dx

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: \ \sin (x)  y \ \cos (x)  la sustitución conveniente resulta ser \ u=\tan (x/2)  :

Triángulo rectágulo.

\ \sin (x/2)= \frac {u}{\sqrt {1+ u^2}} \ \cos (x/2)= \frac {1}{\sqrt {1+ u^2}}

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)\ \cos (x)= \cos^2 (x/2) - \sin^2 (x/2) = \frac {1-u^2}{1+u^2}

por otra parte \ du = \frac {1}{2} \sec^2 (x/2) dx  o \ dx = 2 \cos^2 (x/2) du = \frac {2 du}{1 + u^2}

la integral queda después de dicha sustitución:

 \int \frac {du}{u^2 + 4} = \frac {1}{2} \arctan (u/2) + c = \frac {1}{2} \arctan (\frac {1}{2}\tan (x/2)) + c

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: “Un Día Vi Una Vaca sin rabo(menos integral) Vestida De Uniforme“.

Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

\int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu.

Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice así:

“Sentado (\ integral) un (\ u) día vi (\ dv) (=) un (\ u) valiente (\ v) soldado (\ integral) vestido (\ v) de uniforme (\ du)” .
“Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme” .
“Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme”.
“Una vaca menos la vaca de uno”
“un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du).

solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme

“Sentado (\ integral) un (\ u) día vi (\ dv) una vaca (\ uv) sin (\ -) cola (\ integral) vestida (\ v) de uniforme (\ du)”

Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

  • Para elegir la función  \ u \  se puede usar una de las siguiente reglas memotécnicas:
  1. Arcoseno, arcocoseno…, Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente… ⇒ A L P E S.
    Nota: Elegimos siempre “u” como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
  2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.
    Nota: Elegimos siempre “u” como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.
  3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T
    Nota: Elegimos siempre “u” como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si \scriptstyle u es la variable original y \scriptstyle v =\phi(u) es una función invertible, se tiene:

\int_a^b f(u)\ du = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (f\circ\phi^{-1})(v)<br /><br /><br />
\left(\frac{d\phi^{-1}(v)}{dv}\right)^{-1} dv” /></p></blockquote>
<h2>Integrales de funciones trigonométricas</h2>
<p>Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:</p>
<blockquote><p><img src= About these ads

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